Closed-loop control

PID 控制器 Interactive PID controller simulation.

在同一个二阶对象上调整比例、积分与微分增益，直接比较输出响应、控制量和误差指标。公式、指标定义与下方仿真代码保持一致。

Plant: second-order dt = 0.01 s Window: 12 s Integrator clamp: ±4

阶跃响应 Step Response

超调量 Overshoot

0.0%

稳定时间估计 · ±5% / 0.8 s

ITAE / 当前控制量 u

0.00 / 0.00

输出响应 Output response

系统输出 y 目标值 r ±5% 误差带

控制量 Control effort

控制输入 u 限幅 ±10

数学模型与校正说明 Mathematical Model and Notes

公式与代码保持一致：微分项作用于对象输出，避免设定值阶跃带来的 derivative kick；数值积分、限幅和指标口径也在下方明确给出。

PID 控制律

误差定义为 e(t)=r(t)-y(t)。本页使用工业实现里常见的“微分作用于输出”形式：

u(t)=K_p e(t)+K_i\int_0^t e(\tau)\,d\tau-K_d\frac{dy(t)}{dt}

当目标值不再变化时，-dy/dt 与 de/dt 等价；在目标值突然阶跃时，它能避免微分项产生瞬时尖峰。本仿真直接使用模型内部的速度状态 dy/dt，没有模拟传感器噪声、数值微分或微分滤波。代码还把积分状态限制在 [-4,4]，这是简单的积分钳位，不代表所有工程抗饱和方案。

三项分别在做什么

P：现在误差

u_P=K_pe。P 项像弹簧，误差越大推得越用力。它提高响应速度，但过大时会降低阻尼，带来超调和振荡。

I：历史误差

u_I=K_i∫e dt。I 项会累积长期偏差，是消除当前对象稳态误差的关键；但积累太快会产生积分饱和和慢振荡。

D：变化趋势

本页实际采用 u_D=-K_d dy/dt，并直接读取对象模型的速度状态。当设定值保持不变时，它才与 K_d de/dt 等价；真实测量微分通常还要加入低通滤波。

被控对象

仿真对象为二阶线性系统，控制器输出先限制在 ±10，再进入对象：

\ddot y+2\zeta\omega_n\dot y+\omega_n^2y=K\omega_n^2u

当前取 ω_n=2.2、ζ=0.55、K=1。这是用于学习与分享的简化模型，不代表某个特定电机、温控或飞行器。

代码中的离散计算

采样周期为 Δt=0.01 s。下标 k−1 表示更新前状态；clip(x,a,b) 表示把数值限制在区间 [a,b]：

I_k=\operatorname{clip}\!\left(I_{k-1}+e_{k-1}\Delta t,-4,4\right)

u_k=\operatorname{clip}\!\left(K_pe_{k-1}+K_iI_k-K_d\dot y_{k-1},-10,10\right)

\dot y_k=\dot y_{k-1}+\ddot y_{k-1}\Delta t,\qquad y_k=y_{k-1}+\dot y_k\Delta t

e_k=r-y_k,\qquad \mathrm{ITAE}_k=\mathrm{ITAE}_{k-1}+t_k|e_k|\Delta t

对象采用半隐式 Euler：先更新速度，再用新速度更新位置。它是连续模型的数值近似，不等同于解析解。

性能指标

M_p=\max\left(0,\frac{y_{\max}-r}{|\Delta r|}\right)\times100\%

\mathrm{ITAE}(T)=\int_0^T t\,|e(t)|\,dt

本页只运行从 0 到 1 的正单位阶跃，因此超调量按 |Δr|=1 归一化。响应连续停留在 ±5%·|Δr| 内 0.8 s 后，首次进入时刻记为“稳定时间估计”；这是实时演示用的驻留判据，不等同于检查全部未来轨迹的严格调节时间。

调参流程

先令 Ki=0、Kd=0，逐步提高 Kp，直到响应足够快但还未持续振荡。
增加 Ki 消除残余稳态误差。若出现慢速来回摆动，说明积分太强或输出已经饱和。
增加 Kd 抑制超调和振铃。若曲线变得毛躁，真实系统里应降低 Kd 或增加微分滤波。
比较 超调量、调节时间、ITAE，不要只追求某一个指标。

常见现象诊断

响应慢：通常是 Kp 太小，也可能是输出限幅太低。
超调大：可能是 Kp 或 Ki 过强，可降低它们或适当增加 Kd。
稳态偏差：对当前二阶对象，单独 P 控制会留下偏差；需要加入 I 项。
持续振荡：闭环阻尼不足，常见处理是降低 Kp/Ki，或增加合适的 D 项。